Newton-Verfahren


Excel-Modelle
Schaubild von f
Verfahren bauen
Konvergenz
Lehrer-Hinweise

Wozu verwendet man das Newton-Verfahren?

Euch ist sicherlich bekannt, dass die Lösungsmenge von vielen Gleichungen nicht mit den aus der Algebra bekannten  Umformungen zu berechnen ist.

Für die quadratische Gleichung  3x2 - 5x - 2 = 0 gilt dies sicher nicht. Hier liefert ja die Mitternachtsformel die beiden Lösungen x1 und x2:

Schwieriger wird es bei Gleichungen dritten oder vierten Grades. Die Gleichung 

-x3 + 2x2 + x - 2 = 0

lässt sich nur deshalb lösen, weil wir x1 = 1 erraten können. Und gänzlich passen müssen wir bei Exemplaren von Gleichungen wie x = cos x oder 

5·sin x  +  0,1·x3  +  0,5·x2  +  7  = 0     (*)  


 Bei algebraisch nicht lösbaren Gleichungen hilft aber gerade das Newton-Verfahren weiter. Eure Mathelehrerin oder euer Mathelehrer hat euch sicher erklärt, 

  • dass man Lösungen von Gleichungen auch als Bestimmung der  Nullstellen der zu den Gleichungen gehörenden Funktionen interpretieren kann.
  • dass diese Nullstellen mit dem Newton-Verfahren näherungsweise berechnet werden. Und je mehr Rechenschritte bei diesem Verfahren angewendet werden, desto genauer wird in der Regel dieser Näherungswert.
  • dass die Berechnung von einem Startwert ausgehen muss, den man zum Beispiel über ein Schaubild ermitteln kann.

Ausprobieren des Newton-Verfahrens mit Excel

Wir wollen nun ein Excel-Rechenblatt aufbauen, mit dem wir die Nullstellen gerade der schwierigen Funktion f von oben mit  f(x) =  5·sin x  +  0,1·x3  +  0,5·x2  +  7 mit dem Newton-Verfahren ermitteln. 

Wir gehen schrittweise vor, wie es die Knöpfe am linken Rand ja auch nahelegen: Zuerst üben wir einmal das Zeichnen von Schaubildern mit Excel. Dann programmieren wir das Verfahren selbst. Am Schluss überlegen wir uns, unter welchen Umständen das Verfahren eigentlich konvergiert. 

Jetzt könnt ihr mit den Knöpfen am linken Rand starten - mein Rat: Beginnt mit dem obersten! (Wahrscheinlich müsst ihr das Bild wieder ganz hoch laufen lassen, um die Knöpfe auch zu sehen.)


08.06.2002   Excel-Modelle ] Diagramme ] Eisenbahn ] Würfel ] Binomialverteilung ] Interpolation ] [ Newton-Verfahren ] Weitere Modelle ] Historisches ] Zum Anfang ]